代表來賓應該考慮不論自己的猜測是否正確，主持人向觀眾開啟這道門的機率。 所以如果一開始選擇1號門，接著主持人接著打開有羊的門，是一開始猜測正確的狀況之一，因此機率是1/2。 狀況1號門2號門3號門1車羊羊2羊車羊3羊羊車節目主持人先讓來賓指出一道門，接著根據情況決定要打開那道門讓觀眾與來賓看山羊。 例如車子在1號門之後的狀況，來賓先選擇1號門，接著主持人就隨機打開2號門或3號門；如果是車子不在1號門之後的狀況，來賓先選擇1號門，主持人接著就打開另一道是山羊的門。
中心极限定理指出，在特定条件下，一个具有有限均值和方差的随机变量的多个样本(观察值)的平均值本身就是一个随机变量，其分布随着样本数量的增加而收敛于正态分布。 因此，许多与独立过程总和有关的物理量，例如测量误差，通常可被近似为正态分布。 均勻分布(數學機率論中的術語) 的積分值。 在傅立葉分析的概念中,可以將f或f的值取為 ,因為這種均勻函式的許多積分變換的逆變換都是函式本身。 機率密度 單純的講機率密度沒有實際的意義，它必須有確定的有界區間為前提。
機率密度: 概率密度函數
累積分布函數是一種概率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。 機率密度 還有一些其他的等價方法，例如cumulant、特徵函數、動差生成函數以及cumulant-生成函數。 這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。
只要從下拉式選單點選想要操作的檢定類型（例如：一母體平均數的 Z 檢定），並指定虛無假設以及對立假設。 接著，從文字欄位調整參數後，GeoGebra 將會顯示檢定的結果。 機率分布頁面能讓您繪製各種機率分布的圖形。
機率密度: 概率密度函數定義
波函數的概念在量子力學裏非常基礎與重要，諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑，都源自於波函數，甚至今天，這些論題仍舊尚未獲得滿意解答。 然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。 两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。 某飲料公司裝瓶流程嚴謹，每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配法則。 隨機選取一罐，求（1）容量超過605毫升的機率；（2）容量小於590毫升的機率。
運用這個單元示範的機率事件計算方法，計算抽到同花順的機率。 機率事件的計算元素能定義為總機率為1的集合，根據計算條件，可定義子集合，以及子集合之間的聯集、補集、以及差集。 讀者可以運用jamovi示範檔案，調整製造圖3.1的R程式碼，配合這個單元的習題進行修改，讓自已更了解機率分佈。 上面所列舉的例子屬於離散分布，即分布函數的值域是離散的，比如只取整數值的隨機變數就是屬於離散分布的。 这个方程的提出是因为二自由度的卡方分布（见性质4）很容易由指数随机变量（方程中的lnU）生成。 因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度，用指数分布选择半径然后变换成（正态分布的）x,y坐标。
機率密度: 機率流
類似圖3.5的曲線圖，在之後的每個統計單元都會看到。 機率密度 機率密度 讀者可以使用jamovi示範檔案，演練習題或自行設計題目，了解標準化分數與累積機率的對應。 如此轉換不只帶來計算的方便性，也讓心理學者能運用平均值為0，標準差為1的標準化常態分佈，計算從一群人之中，找到在某個智力商數之上或之下的個體之機率。
- 上面所列舉的例子屬於離散分布，即分布函數的值域是離散的，比如只取整數值的隨機變數就是屬於離散分布的。
- 部分需要藉助定積分符號闡述的內容，我們將其單獨放在本節的「常態分佈性質的積分形式表達」子章節以及部分習題中。
- 機率密度 機率指事件隨機發生的機率,對於均勻分布函式,機率密度等於一段區間(事件的取值範圍)的機率除以該段區間的長度,它的值是非負的,可以很大也可以很小。
- 只要從下拉式選單點選想要操作的檢定類型（例如：一母體平均數的 Z 檢定），並指定虛無假設以及對立假設。
作為一個意義深遠的定理，我們先在本小節關心它的統計學意義，稍後的其它小節中再藉助微積分學的符號補充此定理的數學形式。 機率分佈頁面能讓您繪製各種機率分佈的圖形。 只要從下拉式選單點選想要操作的分佈類型（例如：常態分佈、二項分佈），GeoGebra 就會幫您繪製分佈圖。 接著，可在鄰近的文字欄位調整此分佈的參數。 並且可以發現CDF 是一個遞增到1的離散階梯函數或遞增到1的連續函數。 隨機數據的概率密度函數：表示瞬時幅值落在某指定範圍內的概率，因此是幅值的函數。
機率密度: 均勻分布
這是一種不同於離散型機率分布的連續取值的機率分布。 至此我們應該注意到，如果要用機率分佈表現資料的發生機率，類別變項資料就是運用離散型隨機變數與其機率函數。 機率密度 心理科學有許多測量指標在在一開始被提出時，研究者會設定所有人類的測量結果符合常態分佈，例如智力商數。 1926年，奧地利物理學家薛丁格運用偏微分方程，建立了描述微觀粒子運動的波動方程，即薛丁格方程。
更準確來説，如果一個函數和X的概率密度函數取值不同的點只有有限個、可數無限個或者相對於整個實數軸來説測度為0（是一個零測集），那麼這個函數也可以是X的概率密度函數。 具有相同分布函數的隨機變數一定是同分布的，因此可以用分布函數來描述一個分布，但更常用的描述手段是機率密度函數。 量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。 势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。 所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。 其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。
機率密度: 數學定義
林德伯格-萊維中心極限定理（Lindeberg-Lévy central limit theorem）指出：很多個獨立同分布因素的疊加結果會接近常態分佈。 相關例題2： 某中學高考數學成績近似地服從常態分佈N，則此校數學成績在80～120分的考生占總人數的百分比為。 之前我們提到過，標準得分（z分數）常用於確定常態分佈數據中的百分位數取值，或者是確定某個具體取值高於正態類型總體中百分之多少的數據。 換句話說，藉助標準得分的轉換，可以實現在常態分佈或其它分布中從百分位數到原始值之間的相互換算。 此外，由於隨機變量X的數值範圍發生微小變動時，其機率值應該也不會有明顯波動，所以我們假定F是連續函數。
密度估算是利用機率論的知識來估計未知目標的密度,是一種非參數檢驗方法。 機率流 在量子力學裡,機率流,又稱為機率通量,是描述機率密度流動的物理量。 那么,機率流就是這流體的流率(機率密度乘以速度)。 在量子力學裏，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。 那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。
機率密度: 概率密度函數應用
在概率論，常態分布是幾種連續以及離散分布的極限分布。 上述的中心極限定理表明，其它類型的機率分布很大程度上可以用常態分佈作為近似。 來自自然的觀測結果都有很多隨機誤差，並且經常可以視為是彼此獨立的，所以這些不同來源但彼此獨立的誤差大量疊加、抵消之後最終展現出來的結果就是常態分佈。 由於常態分佈和隨機誤差的淵源，標準常態分佈的機率密度函數（即高斯函數）也叫做（高斯）誤差函數（ error function）。
- 势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。
- 首先從解析大樂透的中獎機率，了解機率分佈的構成要素。
- 密度函式 在數學中,連續型隨機變數的機率密度函式(在不至於混淆時可以簡稱為密度函式)是一個描述這個隨機變數的輸出值,在某個確定的取值點附近的可能性的函式。
- 從這個單元起介紹的五種機率分佈函數，被統計學家用來開發本書陳列的統計方法。